Résolutions d'équations trigonométriques (2) - Corrigé

Énoncé

1. Résoudre dans `[-\pi \ ; \pi]` les équations suivantes.
    a. `\cos^2(x)=1`
    b. `2\sin^2(x)-1=0`

2. Résoudre dans `[0 \ ; 2\pi]` , l'équation : `2\sin^2(x)+5\sin(x)-3=0` .

Solution

1. a. On a, pour tout réel  \(x\) :
\(\begin{align*}\cos^2(x)=1& \Longleftrightarrow\cos(x)=-1 \text{ ou } \cos(x)=1\\ & \Longleftrightarrow\cos(x)=\cos(\pi) \text{ ou } \cos(x)=\cos(0)\\ & \Longleftrightarrow\text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que }x=\pi+2k\pi \text{ ou }x=-\pi+2k\pi \text{ ou } x=0+2k\pi\\ & \Longleftrightarrow\text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que }x=\pi+2k\pi \text{ ou } x=0+2k\pi\end{align*}\)
donc \(S_{[-\pi;\pi]}=\left\lbrace -\pi \ ; 0 \ ; \pi \right\rbrace\) .

    b. On a, pour tout réel \(x\)  :
\(\begin{align*}2\sin^2(x)-1=0& \Longleftrightarrow\sin^2(x)=\frac{1}{2}\\ & \Longleftrightarrow\sin(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ou } \sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & \Longleftrightarrow\sin(x)=\sin\left(\frac{-\pi}{4}\right) \text{ ou } \sin(x)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\ & \Longleftrightarrow\text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que }x=\frac{-\pi}{4}+2k\pi \text{ ou } x=\pi-\frac{-\pi}{4}+2k\pi\\ & ~~~~~~ \text{ ou } x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \text{ ou } x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ & \Longleftrightarrow\text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que }x=\frac{-\pi}{4}+2k\pi \text{ ou } x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\\ & ~~~~~~ \text{ ou } x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \text{ ou }x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\end{align*}\) donc \(S_{[-\pi;\pi]}=\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4} \ ; -\dfrac{\pi}{4} \ ; \dfrac{\pi}{4} \ ; \dfrac{3\pi}{4} \right\rbrace\)

2.   On a, pour tout réel \(x\)  :
\(\begin{align*}2\sin^2(x)+5\sin(x)-3=0& \Longleftrightarrow\left\lbrace \begin{array}{l}2X^2+5X-3=0 \\ X=\sin(x)\end{array} \right.\end{align*}\)
On résout d'abord l'équation \(2X^2+5X-3=0\) . On calcule le discriminant  \(\Delta\) du trinôme du second degré \(2X^2+5X-3 :\)   \(\Delta=5^2-4 \times 2 \times (-3) =25+24=49\) .

Comme \(\Delta=49>0\) , il y a deux solutions réelles :

\(X_1=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2 \times 2} =\dfrac{-5-7}{4} =\dfrac{-12}{4} =-3\)

et  \(X_2=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{2 \times 2} =\dfrac{-5+7}{4} =\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}\) .

On résout maintenant les équations  \(X_1=\sin(x)\) et \(X_2=\sin(x)\) .

D'une part, \(\begin{align*}X_1=\sin(x)& \Longleftrightarrow\sin(x)=-3\end{align*}\) ,  ce qui est impossible car \(\sin(x) \in [-1 \ ; 1]\) .

D'autre part, 
\(\begin{align*}X_2=\sin(x)& \Longleftrightarrow\sin(x)=\frac{1}{2}\\ & \Longleftrightarrow\sin(x)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\ & \Longleftrightarrow\text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{6}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\pi-\frac{\pi}{6}+k \times 2\pi\\ & \Longleftrightarrow\text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{-\pi}{6}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\frac{5\pi}{6}+k \times 2\pi\end{align*}\)
donc l'ensemble des solutions de l'équation \(2\sin^2(x)+5\sin(x)-3=0\) dans \([0 \ ; 2\pi]\) est :

\(S=\left\lbrace \dfrac{5\pi}{6} \ ; \dfrac{11\pi}{6} \right\rbrace\) .